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第7章 散射理论.doc

第7章 散射理论

胡向风
2019-05-18 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第7章 散射理论doc》,可适用于工程科技领域

第七章?散射理论本章介绍:前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。而对于能量连续的散射态能级间隔趋于零因此一般说来不能用微扰论来处理。另一方面微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究对于了解许多实验现象十分重要所以建立一套散射理论无论从实验上看还是使理论更加完善上看都是完全必要的。本章将分别就弹性散射和非弹性散射按入射粒子的能量高低分别建立不同的散射理论并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。散射截面在经典力学中弹性散射是按照粒子在散射过程中同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在量子力学中一般说来除非完全略去粒子之间的相互作用势能否则动量将不守恒。因此在量子力学中不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。在量子力学中如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换粒子由内部运动状态决定则这种碰撞过程成为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化如激发、电离等则称为非弹性散射。本章只讨论弹性散射问题。考虑一束入射粒子流向粒子射来取粒子流入射方向为轴。为散射中心。为讨论方便起见假定的质量比入射粒子大得多由碰撞引起的的运动可以忽略。应当指出散射过程是两体问题。因为它涉及两个互相散射的粒子。对于两体问题最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质心坐标系中一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一粒子的运动可对称给出。从而归结为单体问题。如果散射中心粒子的质量比入射粒子大得多可以认为质心就在上这样就使问题处理简单多了。如图所示入射粒子受的作用而偏离原来的运动方向发生散射。图中角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角称为散射角。单位时间内散射到面积元上的粒子数应与成正比而与到点的距离的平方成反比即与对所张的立体角成比例:同时还应与入射粒子流强度成正比。粒子流强度:垂直于入射粒子流前进方向去一单位面积单位时间内通过的粒子数。于是以表示这个比例关系中的比例系数在一般情况下它与观察方向有关因而上式可写为当强度固定时单位时间内散射到方向的粒子数由决定。它与入射粒子、散射中心的性质以及它们只见的相互作用和相对动能有关。它的物理意义:一个入射粒子经散射后散射到方向单位立体角的几率。它的量纲可由()式中其他各量的量纲得出()即具有面积的量纲。我们称为微分散射截面。如果在垂直与入射粒子流方向区面积则单位时间内穿过这个面积的粒子数等于。将对所有的方向积分得()称为总散射截面。上述微分散射截面和总散射截面的定义在量子力学和经典力学中同样适用。下面我们讨论量子力学中如何由解薛定谔方程来定散射截面。取散射中心为坐标原点用表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能则体系的薛定谔方程为??()式中是入射粒子质量是它的能量为方便令()则()式可改写为我们观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地方所以只需讨论时的行为就够了。假设时即粒子在远离散射中心时两者之间的相互作用趋于零。这样在的地方波函数应由两部分组成:一部分是描述入射粒子的平面波另一部分是描述散射粒子的球面波函数()这个波是由散射中心向外传播的这里考虑的是弹性散射。所以散射波的能量没有改变即波矢的数值不变。上式中仅是的函数与无关。取则这表明每单位体积只有一个入射粒子。入射波的几率流密度()也就是入射粒子流强度即()的散射波的几率流密度是?()它表示单位内穿过球面上单位时间的粒子数故单位时间穿过面积的粒子数是因为比较()与()两式可知微分截面是()所以知道了就可以求得。称为散射振幅。的具体形式通过求薛定谔方程()的解并要求在时解具有()的形式而得出。下面几节我们将具体讨论如何求方程()的解。§??分波法本节我们介绍在粒子受到中心力场的弹性散射时从解方程()而求出散射截面的一种方法后面还将介绍另一种方法这两种方法各有各的适用范围。在中心力场的情况下方程()可改写为()取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴这个轴是我们所讨论问题的旋转对称轴波函数和散射振幅都与角无关。方程()的一般解可写为()现在既与无关所以因而()的一般解写为()这个展式中每一项称一个分波是第个分波每个分波都是方程()的一个解。通常称的分波分别为分波。径向函数满足方程()令则()由于与角无关只是的函数的渐进表示式()可写为()当趋于无限大时趋于零所以当时则()式可化为()它的解是由此有??()其中???()将上式代入()式得到()的渐进解()将其写成()的形式就可以得到散射振幅为此目的我们利用平面波按球面波展开公式()式中是球面贝塞尔函数它和贝塞尔函数的关系是因此()利用公式将上式中的正弦函数写成指数函数得()要使上式成立则和的系数必须都为零()()在()式两边乘以后对从积分并利用勒让德多项式的正交性可得????()将这个结果代入()就得到()则???()微分散射截面是??()总散射截面是()()是第个分波的散射截面。由于所以的虚部是??()称为光学定理。它表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散射截面。综上所述我可以看到分波法对低能粒子的散射特别有效。对低能粒子小要算的分波的数目较少。§??分波法应用实例作为应用分波法的一个例子。我们讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射。入射粒子能量很小它的德布罗意波长比势场作用范围大得多。质子和中子的低能散射可以近似归结为这种情形。以表示方势阱的范围于是粒子的势能可写为在势阱的情况下因为即所以只需讨论散射就够了取()中得()()式中方程()的解是()由波函数标准条件在处有限所以在处为连续得??()得???()由公式()总散射截面()在粒子能量很低的情况下因为时所以()式可简化为()式可化为()如果散射场不是势阱而是势垒即那么在()式中将换成时总散射截面为???()当时于是有???()代入()式中得在这种情况下总散射截面等于半径为的球面面积。这个结果与经典情况不同。在经典力学中总散射截面等于刚球的最大截面面积。量子力学的结果比经典力学大四倍。§??玻恩近似这一节我们介绍另一种近似方法玻恩近似。如果入射粒子的动能比粒子散射与散射中心相互作用的势能大得多以致势能可以看作是微扰时可用玻恩近似来计算散射截面。体系的哈密顿量写为其中是自由粒子的哈密顿量。取箱归一化的动量本征函数作为的本征函数这种归一化描写在体积内有一个粒子。微扰使粒子从动量为的初态跃迁到动量为的末态。根据能量守恒有入射粒子流强度为其中。根据()式单位时间内散射到立体角内的粒子数为:()另一方面方向在立体角内的末态的态密度是单位时间散射到立体角内的粒子数:()比较()和()注意到立即可的()上式的绝对值号之内保留负号是因为用其他方法算出的散射振幅有一负号。引入矢量()它的数值是其中是散射角是散射引起动量的变化。于是()式的积分可以简化为:因而()若势能已知由上式即可的微分散射截面。如果势能可以近似的表示为球对称的方式垒或势阱那么玻恩近似条件就容易得出。如果散射波的相移很小特别是分波的相移很小就说明势场对散射波的影响很小因而把势场看作微扰时合理的所以分析分波相移就可以得出玻恩近似成立的条件。由方程()注意到得:()当粒子能量很高时于是上式左边余切的宗量可写为当此宗量与只差一小角时则相移很小。于是玻恩近似有效的条件是()是入射粒子的经典速度。由此可见波恩近似适用于粒子的高能散射。分波法则适用于低能散射两种方法相互补充。势阱情况下波恩近似对低能散射也可能有效。由()式当时有???()所以只要不是很接近于则很小于是玻恩近似就可以应用。作为例子我们来计算一个高速带电粒子(带电)被一中性原子散射的散射截面。原子核所产生的电场被原子内部的电子所屏蔽这种屏蔽库仑场可以表示为()式中为原子半径为原子序数。将()是代入()式得()如果????()则()式中的项可以略去结果得到微分散射截面()

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